3. 线性回归实现与应用#
3.1. 介绍#
线性回归是一种较为简单，但十分重要的机器学习方法。掌握线性的原理及求解方法，是深入了解线性回归的基本要求。除此之外，线性回归也是监督学习回归部分的基石，希望你能最终掌握机器学习的一些重要的思想。
3.2. 知识点#
一元线性回归
平方损失函数
最小二乘法及代数求解
最小二乘法的矩阵求解
线性回归综合案例
3.3. 线性回归介绍#
前面，我们了解了分类和回归问题的区别。也就是说，回归问题旨在实现对连续值的预测，例如股票的价格、房价的趋势等。比如，下方展现了一个房屋面积和价格的对应关系图。
如上图所示，不同的房屋面积对应着不同的价格。现在，假设我手中有一套房屋想要出售，而出售时就需要预先对房屋进行估值。于是，我想通过上图，也就是其他房屋的售价来判断手中的房产价值是多少。应该怎么做呢？
我采用的方法是这样的。如下图所示，首先画了一条红色的直线，让其大致验证数据色点分布的延伸趋势。然后，我将已知房屋的面积大小对应到红色直线上，也就是蓝色点所在位置。最后，再找到蓝色点对应于房屋的价格作为房屋最终的预估价值。
在上图呈现的这个过程中，通过找到一条直线去拟合数据点的分布趋势的过程，就是线性回归的过程。而线性回归中的「线性」代指线性关系，也就是图中所绘制的红色直线。
此时，你可能心中会有一个疑问。上图中的红色直线是怎么绘制出来的呢？为什么不可以像下图中另外两条绿色虚线，而偏偏要选择红色直线呢？
绿色虚线的确也能反应数据点的分布趋势。所以，找到最适合的那一条红色直线，就成为了线性回归中需要解决的目标问题。
通过上面这个小例子，相信你对线性回归已经有一点点印象了，至少大致明白它能做什么。接下来的内容中，我们将了解线性回归背后的数学原理，以及使用 Python 代码对其实现。
3.4. 一元线性回归#
上面针对 线性回归 的介绍内容中，我们列举了一个房屋面积与房价变化的例子。其中，房屋面积为自变量，而房价则为因变量。另外，我们将只有 1 个自变量的线性拟合过程叫做一元线性回归。
下面，我们就生成一组房屋面积和房价变化的示例数据。\(x\) 为房屋面积，单位是平方米; \(y\) 为房价，单位是万元。
import warnings
# 减少代码执行过程中的不必要提醒
warnings.filterwarnings("ignore")
import numpy as np
x = np.array([56, 72, 69, 88, 102, 86, 76, 79, 94, 74])
y = np.array([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])
示例数据由 10 组房屋面积及价格对应组成。接下来，通过 Matplotlib 绘制数据点，\(x\), \(y\) 分别对应着横坐标和纵坐标。
from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.scatter(x, y)
plt.xlabel("Area")
plt.ylabel("Price")
Text(0, 0.5, 'Price')
正如上面所说，线性回归即通过线性方程去拟合数据点。那么，我们可以令该 1 次函数的表达式为：
公式 \((1)\) 是典型的一元一次函数表达式，我们通过组合不同的 \(w_0\) 和 \(w_1\) 的值得到不同的拟合直线。
接下来，对公式 \((1)\) 进行代码实现：
def f(x: list, w0: float, w1: float):
"""一元一次函数表达式"""
y = w0 + w1 * x
return y
那么，哪一条直线最能反应出数据的变化趋势呢？
想要找出对数据集拟合效果最好的直线，这里再拿出上小节图示进行说明。如下图所示，当我们使用 \( y(x, w) = w_0 + w_1x \) 对数据进行拟合时，就能得到拟合的整体误差，即图中蓝色线段的长度总和。如果某一条直线对应的误差值最小，是不是就代表这条直线最能反映数据点的分布趋势呢？
3.5. 平方损失函数#
正如上面所说，如果一个数据点为 (\(x_{i}\), \(y_{i}\))，那么它对应的误差就为:
上面的误差往往也称之为「残差」。但是在机器学习中，我们更喜欢称作「损失」，即真实值和预测值之间的偏离程度。那么，对 \(n\) 个全部数据点而言，其对应的残差损失总和就为：
更进一步，在线性回归中，我们一般使用残差的平方和来表示所有样本点的误差。公式如下：
使用残差平方和的好处在于能保证损失始终是累加的正数，而不会存在正负残差抵消的问题。对于公式 \((4)\) 而言，机器学习中有一个专门的名词，那就是「平方损失函数」。而为了得到拟合参数 \(w_0\) 和 \(w_1\) 最优的数值，我们的目标就是让公式 \((4)\) 对应的平方损失函数最小。
同样，我们可以对公式 \((4)\) 进行代码实现：
def square_loss(x: np.ndarray, y: np.ndarray, w0: float, w1: float):
"""平方损失函数"""
loss = sum(np.square(y - (w0 + w1 * x)))
return loss
如果某条直线拟合样本得到的总损失最小，那么这条直线就是最终想得到的结果。而求解损失最小值的过程，就必须用到下面的数学方法了。
3.6. 最小二乘法代数求解#
最小二乘法是用于求解线性回归拟合参数 \(w\) 的一种常用方法。最小二乘法中的「二乘」代表平方，最小二乘也就是最小平方。而这里的平方就是指代上面的平方损失函数。
简单来讲，最小二乘法也就是求解平方损失函数最小值的方法。那么，到底该怎样求解呢？这就需要使用到高等数学中的知识。推导如下：
首先，平方损失函数为：
我们的目标是求取平方损失函数 \(min(f)\) 最小时，对应的 \(w\)。首先求 \(f\) 的 1 阶偏导数：
然后，我们令 \(\frac{\partial f}{\partial w_{0}}=0\) 以及 \(\frac{\partial f}{\partial w_{1}}=0\)，解得：
到目前为止，已经求出了平方损失函数最小时对应的 \(w\) 参数值，这也就是最佳拟合直线。
我们将公式 \((7)\) 求解得到 \(w\) 的过程进行代码实现：
def least_squares_algebraic(x: np.ndarray, y: np.ndarray):
"""最小二乘法代数求解"""
n = x.shape[0]
w1 = (n * sum(x * y) - sum(x) * sum(y)) / (n * sum(x * x) - sum(x) * sum(x))
w0 = (sum(x * x) * sum(y) - sum(x) * sum(x * y)) / (
n * sum(x * x) - sum(x) * sum(x)
)
return w0, w1
于是，可以向函数 least_squares_algebraic(x, y) 中传入 \(x\) 和 \(y\) 得到 \(w_0\) 和 \(w_1\) 的值。
least_squares_algebraic(x, y)
(41.33509168550616, 0.7545842753077117)
当然，我们也可以求得此时对应的平方损失的值：
w0 = least_squares_algebraic(x, y)[0]
w1 = least_squares_algebraic(x, y)[1]
square_loss(x, y, w0, w1)
447.69153479025357
接下来，我们尝试将拟合得到的直线绘制到原图中：
x_temp = np.linspace(50, 120, 100) # 绘制直线生成的临时点
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x_temp, x_temp * w1 + w0, "r")
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x11a01a320>]
从上图可以看出，拟合的效果还是不错的。那么，如果你手中有一套 150 平米的房产想售卖，获得预估报价就只需要带入方程即可：
f(150, w0, w1)
154.5227329816629
这里得到的预估售价约为 154 万元。这就是一个最小二乘法求解线性回归问题的完整过程。
3.7. 最小二乘法矩阵求解#
学习完上面的内容，相信你已经了解了什么是最小二乘法，以及如何使用最小二乘法进行线性回归拟合。上面，我们采用了求偏导数的方法，并通过代数求解找到了最佳拟合参数 \(w\) 的值。这里尝试另外一种方法，即通过矩阵的变换来计算参数 \(w\)。
首先，一元线性函数的表达式为 \( y(x, w) = w_0 + w_1x\)，表达成矩阵形式为：
即：
\((8)\) 式中，\(W\) 为 \(\begin{bmatrix}w_{0} \\ w_{1} \end{bmatrix}\)，而 \(X\) 则是 \(\begin{bmatrix}1, x_{1} \\ 1, x_{2} \\ \cdots \\ 1, x_{9} \\ 1, x_{10} \end{bmatrix}\) 矩阵。然后，平方损失函数为：
通过对公式 \((9)\) 实施矩阵计算乘法分配律得到：
在该公式中 \(y\) 与 \(XW\) 皆为相同形式的 \((m,1)\) 矩阵，由此两者相乘属于线性关系，所以等价转换如下：
此时，对 矩阵求偏导数 得到：
当矩阵 \(X^TX\) 满秩时， \((X^TX)^{-1}X^TX=E\)，且 \(EW=W\)。所以有 \((X^TX)^{-1}X^TXW=(X^TX)^{-1}X^Ty\)，并最终得到：
补充公式 12 → 13 详解
我们从以下偏微分方程开始:
目标是求解当 \(f\) 取最小值时 \(W\) 的表达式。
首先,在等式两边同时左乘 \((X^T X)^{-1}\):
由于 \((X^T X)^{-1}\) 和 \(X^T X\) 互为逆矩阵,它们的乘积等于单位矩阵 \(I\),因此:
移项可得:
两边同除以2,得到 \(W\) 的最终表达式:
这就是线性回归模型参数 \(W\) 在最小化误差函数 \(f\) 时的解析解。推导过程利用了矩阵求导的链式法则以及 \((X^T X)\) 矩阵的可逆性。当 \(X^T X\) 为满秩矩阵时,它的逆矩阵 \((X^T X)^{-1}\) 存在,且满足:
这个性质使我们能够在推导过程中约去 \((X^T X)^{-1}\) 和 \(X^T X\),从而得到简化的表达式。
我们可以针对公式 \((13)\) 进行代码实现：
def least_squares_matrix(x: np.matrix, y: np.matrix):
"""最小二乘法矩阵求解"""
w = (x.T * x).I * x.T * y
return w
计算时，需要参考上方计算公式对原 \(x\) 数据添加截距项系数 1，这里使用 np.hstack 方法。
x_matrix = np.matrix(np.hstack((np.ones((x.shape[0], 1)), x.reshape(x.shape[0], 1))))
y_matrix = np.matrix(y.reshape(y.shape[0], 1))
x_matrix, y_matrix
(matrix([[ 1., 56.],
[ 1., 72.],
[ 1., 69.],
[ 1., 88.],
[ 1., 102.],
[ 1., 86.],
[ 1., 76.],
[ 1., 79.],
[ 1., 94.],
[ 1., 74.]]),
matrix([[ 92],
[102],
[ 86],
[110],
[130],
[ 99],
[ 96],
[102],
[105],
[ 92]]))
least_squares_matrix(x_matrix, y_matrix)
matrix([[41.33509169],
[ 0.75458428]])
可以看到，矩阵计算结果和前面的代数计算结果一致。你可能会有疑问，那就是为什么要采用矩阵变换的方式计算？一开始学习的代数计算方法不好吗？
其实，并不是说代数计算方式不好，在小数据集下二者运算效率接近。但是，当我们面对十万或百万规模的数据时，矩阵计算的效率就会高很多，这就是为什么要学习矩阵计算的原因。
3.8. 线性回归 scikit-learn 实现#
上面的内容中，我们学习了什么是最小二乘法，以及使用 Python 对最小二乘线性回归进行了完整实现。那么，我们如何利用机器学习开源模块 scikit-learn 实现最小二乘线性回归方法呢？
使用 scikit-learn 实现线性回归的过程会简单很多，这里要用到 LinearRegression() 类。看一下其中的参数：
sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=1)
- fit_intercept: 默认为 True，计算截距项。
- normalize: 默认为 False，不针对数据进行标准化处理。
- copy_X: 默认为 True，即使用数据的副本进行操作，防止影响原数据。
- n_jobs: 计算时的作业数量。默认为 1，若为 -1 则使用全部 CPU 参与运算。
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 定义线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(x.reshape(x.shape[0], 1), y) # 训练, reshape 操作把数据处理成 fit 能接受的形状
# 得到模型拟合参数
model.intercept_, model.coef_
(41.33509168550617, array([0.75458428]))
这里，通过 model.intercept_ 可以得到拟合的截距项，即上面的 \(w_{0}\)，通过 model.coef_ 得到 \(x\) 的系数，即上面的 \(w_{1}\)。对比发现，结果是完全一致的。
同样，我们可以预测 150 平米房产的价格：
model.predict([[150]])
array([154.52273298])
可以看到，这里得出的结果和自行实现计算结果一致。
3.9. 线性回归综合案例#
目前，你已经学习了如何使用最小二乘法进行线性回归拟合，以及通过代数计算和矩阵变换两种方式计算拟合系数 \(w\)，这已经达到了掌握线性回归方法的要求。接下来，我们将尝试加载一个真实数据集，并使用 scikit-learn 构建预测模型，实现回归预测。
既然前面的 2 个小节中，都使用了和房价相关的示例数据。这里，我们就采用一个真实的房价数据集，也就是「波士顿房价数据集」。
3.9.1. 数据集介绍及划分#
波士顿房价数据集 是机器学习中非常经典的数据集，它被用于多篇回归算法研究的学术论文中。该数据集共计 506 条，其中包含有 13 个与房价相关的特征以及 1 个目标值（房价）。
首先，我们使用 Pandas 加载并预览数据集，同时查看 DataFrame 前 5 行数据。
import pandas as pd
df = pd.read_csv(
"https://cdn.aibydoing.com/hands-on-ai/files/course-5-boston.csv"
)
df.head()
| crim | zn | indus | chas | nox | rm | age | dis | rad | tax | ptratio | black | lstat | medv | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.00632 | 18.0 | 2.31 | 0 | 0.538 | 6.575 | 65.2 | 4.0900 | 1 | 296 | 15.3 | 396.90 | 4.98 | 24.0 |
| 1 | 0.02731 | 0.0 | 7.07 | 0 | 0.469 | 6.421 | 78.9 | 4.9671 | 2 | 242 | 17.8 | 396.90 | 9.14 | 21.6 |
| 2 | 0.02729 | 0.0 | 7.07 | 0 | 0.469 | 7.185 | 61.1 | 4.9671 | 2 | 242 | 17.8 | 392.83 | 4.03 | 34.7 |
| 3 | 0.03237 | 0.0 | 2.18 | 0 | 0.458 | 6.998 | 45.8 | 6.0622 | 3 | 222 | 18.7 | 394.63 | 2.94 | 33.4 |
| 4 | 0.06905 | 0.0 | 2.18 | 0 | 0.458 | 7.147 | 54.2 | 6.0622 | 3 | 222 | 18.7 | 396.90 | 5.33 | 36.2 |
该数据集统计了波士顿地区各城镇的住房价格中位数，以及与之相关的特征。每列数据的列名解释如下：
CRIM: 城镇犯罪率。ZN: 占地面积超过 2.5 万平方英尺的住宅用地比例。INDUS: 城镇非零售业务地区的比例。CHAS: 查尔斯河是否经过 (=1经过，=0不经过)。NOX: 一氧化氮浓度（每1000万份）。RM: 住宅平均房间数。AGE: 所有者年龄。DIS: 与就业中心的距离。RAD: 公路可达性指数。TAX: 物业税率。PTRATIO: 城镇师生比例。BLACK: 城镇的黑人指数。LSTAT: 人口中地位较低人群的百分数。MEDV: 城镇住房价格中位数。
我们不会使用到全部的数据特征。这里，仅选取 CRIM, RM, LSTAT 三个特征用于线性回归模型训练。我们将这三个特征的数据单独拿出来，并且使用 describe() 方法查看其描述信息。 describe() 统计了每列数据的个数、最大值、最小值、平均数等信息。
features = df[["crim", "rm", "lstat"]]
features.describe()
| crim | rm | lstat | |
|---|---|---|---|
| count | 506.000000 | 506.000000 | 506.000000 |
| mean | 3.593761 | 6.284634 | 12.653063 |
| std | 8.596783 | 0.702617 | 7.141062 |
| min | 0.006320 | 3.561000 | 1.730000 |
| 25% | 0.082045 | 5.885500 | 6.950000 |
| 50% | 0.256510 | 6.208500 | 11.360000 |
| 75% | 3.647423 | 6.623500 | 16.955000 |
| max | 88.976200 | 8.780000 | 37.970000 |
同样，我们将目标值单独拿出来。训练一个机器学习预测模型时，我们通常会将数据集划分为 70% 和 30% 两部分。
其中，70% 的部分被称之为训练集，用于模型训练。例如，这里的线性回归，就是从训练集中找到最佳拟合参数 \(w\) 的值。另外的 30% 被称为测试集。对于测试集而言，首先我们知道它对应的真实目标值，然后可以给学习完成的模型输入测试集中的特征，得到预测目标值。最后，通过对比预测的目标值与真实目标值之间的差异，评估模型的预测性能。
上图就是一个简单的机器学习模型训练流程。接下来，我们针对数据集的特征和目标进行分割，分别得到 70% 的训练集和 30% 的测试集。其中，训练集特征、训练集目标、测试集特征和测试集目标分别定义为：X_train, y_train, X_test, y_test。
target = df["medv"] # 目标值数据
split_num = int(len(features) * 0.7) # 得到 70% 位置
X_train = features[:split_num] # 训练集特征
y_train = target[:split_num] # 训练集目标
X_test = features[split_num:] # 测试集特征
y_test = target[split_num:] # 测试集目标
X_train.shape, y_train.shape, X_test.shape, y_test.shape
((354, 3), (354,), (152, 3), (152,))
3.9.2. 构建和训练模型#
划分完数据集之后，就可以构建并训练模型。同样，这里要用到 LinearRegression() 类。对于该类的参数就不再重复介绍了。
model = LinearRegression() # 建立模型
model.fit(X_train, y_train) # 训练模型
model.coef_, model.intercept_ # 输出训练后的模型参数和截距项
(array([ 0.69979497, 10.13564218, -0.20532653]), -38.00096988969018)
上面的单元格中，我们输出了线性回归模型的拟合参数。也就是最终的拟合线性函数近似为：
其中，\(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) 分别对应数据集中 CRIM, RM 和 LSTAT 列。接下来，向训练好的模型中输入测试集的特征得到预测值。
preds = model.predict(X_test) # 输入测试集特征进行预测
preds # 预测结果
array([17.77439141, 21.09512448, 27.63412265, 26.78577951, 25.38313368,
24.3286313 , 28.4257879 , 25.12834727, 16.82806601, 20.76498858,
52.3350748 , -0.18169806, 12.01475786, 7.87878077, 15.13155699,
32.93748235, 37.07872049, 29.50613719, 25.50800832, 12.35867972,
9.08901644, 47.08374238, 35.31759193, 33.3738765 , 38.34913316,
33.10414639, 91.3556125 , 35.11735022, 19.69326952, 18.49805269,
14.03767555, 20.9235166 , 20.41406182, 21.92218226, 15.20451678,
18.05362998, 21.26289453, 23.18192502, 15.87149504, 27.70381826,
27.65958772, 30.17151829, 27.04987446, 21.52730227, 37.82614512,
22.09872387, 34.71166346, 32.07959454, 29.45253042, 29.51137956,
41.49935191, 62.4121152 , 13.64508882, 24.71242033, 18.69151684,
37.4909413 , 54.05864658, 34.94758034, 15.01355249, 30.17849355,
32.22191275, 33.90252834, 33.02530285, 28.4416789 , 69.60201087,
34.7617152 , 31.65353442, 24.5644437 , 24.78130285, 24.00864792,
21.03315696, 27.84982052, 26.50972924, 48.2345499 , 25.50590175,
28.25547265, 28.66087656, 34.2545407 , 29.15996676, 27.8072316 ,
31.54282066, 32.22024557, 33.8708737 , 29.54354233, 24.7407235 ,
20.90593331, 31.85967562, 29.72491232, 25.59151894, 30.83279914,
25.40734645, 23.01153504, 27.01673798, 28.92672135, 27.49385728,
28.34125465, 31.52461119, 29.61897187, 25.83925513, 39.26663855,
33.00756176, 27.73720999, 21.93359421, 24.42469533, 27.95623349,
25.37499479, 29.91401113, 26.20027081, 27.81044317, 29.97326914,
27.7027324 , 19.68280094, 21.44673441, 21.56041782, 29.24007222,
26.02322353, 24.20402765, 25.31745183, 26.79101418, 33.60357546,
18.91793831, 23.98036109, 27.29202266, 21.15709214, 28.14694161,
32.47276562, 27.13611459, 32.81994315, 36.13809753, 20.23338607,
20.43084078, 26.37366467, 24.87561302, 22.88298598, 13.67619651,
12.08004137, 7.6709438 , 19.00432321, 19.97736929, 17.49844989,
19.46809982, 15.97963066, 12.49219926, 18.01764782, 20.51997661,
15.46843536, 20.30123637, 26.88163963, 22.19647509, 31.58974789,
29.60675772, 21.5321567 ])
对于回归预测结果，通常会有平均绝对误差、平均绝对百分比误差、均方误差等多个指标进行评价。这里，我们先介绍两个：
平均绝对误差（MAE）就是绝对误差的平均值，它的计算公式如下：
其中，\(y_{i}\) 表示真实值，\(\hat y_{i}\) 表示预测值，\(n\) 则表示值的个数。MAE 的值越小，说明模型拥有更好的拟合程度。我们可以尝试使用 Python 实现 MAE 计算函数：
def mae_solver(y_true: np.ndarray, y_pred: np.ndarray):
"""MAE 求解"""
n = len(y_true)
mae = sum(np.abs(y_true - y_pred)) / n
return mae
均方误差（MSE）它表示误差的平方的期望值，它的计算公式如下：
其中，\(y_{i}\) 表示真实值，\(\hat y_{i}\) 表示预测值，\(n\) 则表示值的个数。MSE 的值越小，说明预测模型拥有更好的精确度。同样，我们可以尝试使用 Python 实现 MSE 计算函数：
def mse_solver(y_true: np.ndarray, y_pred: np.ndarray):
"""MSE 求解"""
n = len(y_true)
mse = sum(np.square(y_true - y_pred)) / n
return mse
于是，我们可以计算出上面模型的平均指标，即预测结果的 MSE 和 MAE 值：
mae = mae_solver(y_test.values, preds)
mse = mse_solver(y_test.values, preds)
print("MAE: ", mae)
print("MSE: ", mse)
MAE: 13.022063072780178
MSE: 303.833124722358
我们同样可以调用 scikit-learn 中现成的 MAE 和 MSE 求解方法来试一下。不出意外的话，结果应该和我们自行实现的一致。
from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error
mae_ = mean_absolute_error(y_test, preds)
mse_ = mean_squared_error(y_test, preds)
print("scikit-learn MAE: ", mae_)
print("scikit-learn MSE: ", mse_)
scikit-learn MAE: 13.02206307278018
scikit-learn MSE: 303.8331247223582
可以看到，这里模型预测结果的平均绝对误差约为 13.02。如果你计算一下全部目标值的平均值(结果为 22 左右)，你会发现 13.02 的平均绝对误差应该说是很大了。这也就说明模型的表现并不好，这是什么原因呢？
究其原因主要是 2 个方面。首先是数据，我们没有针对数据进行预处理，且随机选择了 3 个特征，并没有合理利用数据集提供的其他特征。此外，也没有针对异常数据进行剔除以及规范化。另一个原因其实是算法本身，线性回归是通过线性关系去反映出数据的规律，但实际上房价并非简单的线性关系能够表征的，所以也是最终预测效果不好的原因之一。
当然，关于使用机器学习训练模型过程中涉及到的数据预处理知识，我们会在后续的课程中逐渐学习。掌握好线性回归的原理和实现方法，才是本次学习的重点。
3.10. 总结#
我们从线性回归原理入手，学习了最小二乘法的两种求解方法，并针对线性回归算法进行了完整实现。在这个过程中，你了解到了机器学习的训练和预测流程，以及背后的数学思想。
总结而来，一个机器学习过程往往包含训练和预测两部分，训练好的模型可用于对未知数据的预测。而训练模型的过程，实际上是应用机器学习算法解决问题的过程。其中，我们通常会定义一个损失函数（平方损失函数），并使用一种数学优化方法（最小二乘法）去求解该损失函数的最优解。这个思想将始终贯穿于机器学习之中。
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